I principi di equivalenza consentono di semplificare le equazioni complesse e quindi di giungere rapidamente a soluzione.
Due equazioni nella stessa incognita si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Poichè noi siamo interessati alle soluzioni di una equazione più o meno complessa, grazie ai principi trasformiamo l’equazione in una più semplice equivalente e dopo averla risolta utilizziamo le soluzioni come se fossero quelle della equazione di partenza.
I principi di equivalenza sono 2.
1° Principio di equivalenza
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero, o un’espressione letterale, otteniamo un’equazione equivalente.
Prendiamo in considerazione l’equazione di cui conosciamo già la soluzione x = 2
Se aggiungiamo 1 ad entrambi i membri l’equazione diventa:
Semplificando si ottiene
La cui soluzione è sempre 2
A guardare bene l’applicazione del 1° principio si nota che l’effetto finale e stato quello di avere tolto il -1 del 1° membro ed avere aggiunto +1 al 2° membro. Da cui la regola:
REGOLA DEL TRASPORTO
Questa è una regola pratica del 1° principio e recita:
“Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da un membro all’altro cambiandogli di segno”
REGOLA DI CANCELLAZIONE
Questa è una regola pratica del 1° principio e recita:
“Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se in entrambi i membri cancelliamo termini uguali.
Esempio numerico
2° Principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, o un’espressione letterale diversi da zero, otteniamo un’equazione equivalente.
In particolare se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri dell’equazione per – 1 l’effetto finale sarà che cambieranno di segno tutti termini dell’equazione, da cui
REGOLA DEL CAMBIAMENTO DI SEGNO
“Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se cambiamo i segni di tutti i termini dell’equazione.
I due principi di equivalenza saranno utilizzati in modo alternato per semplificare qualsivoglia equazione.