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EQUAZIONE DI 2° GRADO (TRINOMIO NOTEVOLE)

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DEL TRINOMIO NOTEVOLE

 

La scomposizione del trinomio notevole è l’operazione inversa della moltiplicazione fra binomi:

 

Ripartiamo dal prodotto di due binomi    ( x + a )*( x + b )

 

Il cui risultato è

x2 + ax + bx + ab

Raggruppando i termini simili

Diventa                                      x2 + ( a + b ) x + ab

 

Poniamo adesso               s = a + b                 e                  p = a*b

 

Il trinomio diventa:         x2 + sx + p             (trinomio di 2° grado)

 

Un trinomio di 2° grado si dice particolare o notevole se i coefficienti s e p sono rispettivamente la somma e il prodotto di 2 numeri a e b

 

In questo caso il trinomio potrà essere scomposto nei fattori: ( x + a ) ( x + b )

 

Esempio numerico n°1

scomporre il seguente trinomio notevole
x2 + 5x + 6
Devo trovare due numeri il cui prodotto è 6 e la somma è 5 (conviene partire dal prodotto):
i numeri che danno:

prodotto 6 possono essere 1 e 6 ; 2 e 3 ; -1 e -6 ;  -2 e -3

solo la somma di 2 e 3 mi dà 5
i due numeri cercati sono quindi 2 e 3
Possiamo allora affermare che   x2 + 5x + 6 = ( x + 2 )( x + 3 )

EQUAZIONE DEL TRINOMIO NOTEVOLE

Se cerchiamo le soluzioni dell’equazione del trinomio notevole

x2 + 5x + 6 = 0
Come abbiamo visto il trinomio può essere scomposto in

 

( x + 2 )( x + 3 )

Pertanto l’equazione diventa

( x + 2 )( x + 3 ) = 0

Le soluzioni di questa equazione (annullamento dei singoli fattori) sono rispettivamente:

X1 = -2

X2 = -3

 

Ma

 

X1* X2   = 6

X1 + X2   = -5

 

Possiamo concludere che in un’equazione di secondo grado completa con il coefficiente a = 1

Il prodotto delle soluzioni è uguale al termine noto

La somma algebrica delle soluzioni è uguale al coefficiente della X di 1° grado (quello che chiamiamo b) però cambiato di segno!!!

 

 

Esempio numerico n°2

Trovare le soluzioni dell’equazione
x2 – 8x +12 = 0
Devo trovare due numeri il cui prodotto è +12 e la somma è -8 cambiato di segno quindi 8

P = 12

S = 8

(conviene partire dal prodotto):
i numeri che danno:

prodotto +12 possono essere     -1 e -12;                 +1 e +12;          -2 e -6;         +2 e +6

-3 e – 4                   +3 e +4

 

solo la somma (algebrica) di 2 e 6 mi dà 8

i due numeri cercati sono quindi 2 e 6
Possiamo allora affermare che

X1 = 2

X2 = 6

 

 

 

Corso di matematica

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