SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DEL TRINOMIO NOTEVOLE
La scomposizione del trinomio notevole è l’operazione inversa della moltiplicazione fra binomi:
Ripartiamo dal prodotto di due binomi ( x + a )*( x + b )
Il cui risultato è
x2 + ax + bx + ab
Raggruppando i termini simili
Diventa x2 + ( a + b ) x + ab
Poniamo adesso s = a + b e p = a*b
Il trinomio diventa: x2 + sx + p (trinomio di 2° grado)
Un trinomio di 2° grado si dice particolare o notevole se i coefficienti s e p sono rispettivamente la somma e il prodotto di 2 numeri a e b
In questo caso il trinomio potrà essere scomposto nei fattori: ( x + a ) ( x + b )
Esempio numerico n°1
scomporre il seguente trinomio notevole
x2 + 5x + 6
Devo trovare due numeri il cui prodotto è 6 e la somma è 5 (conviene partire dal prodotto):
i numeri che danno:
prodotto 6 possono essere 1 e 6 ; 2 e 3 ; -1 e -6 ; -2 e -3
solo la somma di 2 e 3 mi dà 5
i due numeri cercati sono quindi 2 e 3
Possiamo allora affermare che x2 + 5x + 6 = ( x + 2 )( x + 3 )
EQUAZIONE DEL TRINOMIO NOTEVOLE
Se cerchiamo le soluzioni dell’equazione del trinomio notevole
x2 + 5x + 6 = 0
Come abbiamo visto il trinomio può essere scomposto in
( x + 2 )( x + 3 )
Pertanto l’equazione diventa
( x + 2 )( x + 3 ) = 0
Le soluzioni di questa equazione (annullamento dei singoli fattori) sono rispettivamente:
X1 = -2
X2 = -3
Ma
X1* X2 = 6
X1 + X2 = -5
Possiamo concludere che in un’equazione di secondo grado completa con il coefficiente a = 1
Il prodotto delle soluzioni è uguale al termine noto
La somma algebrica delle soluzioni è uguale al coefficiente della X di 1° grado (quello che chiamiamo b) però cambiato di segno!!!
Esempio numerico n°2
Trovare le soluzioni dell’equazione
x2 – 8x +12 = 0
Devo trovare due numeri il cui prodotto è +12 e la somma è -8 cambiato di segno quindi 8
P = 12
S = 8
(conviene partire dal prodotto):
i numeri che danno:
prodotto +12 possono essere -1 e -12; +1 e +12; -2 e -6; +2 e +6
-3 e – 4 +3 e +4
solo la somma (algebrica) di 2 e 6 mi dà 8
i due numeri cercati sono quindi 2 e 6
Possiamo allora affermare che
X1 = 2
X2 = 6