OPERAZIONI CON LE DERIVATE
Operazioni con le derivate di funzioni comunque complesse sono possibili utilizzando le derivate fondamentali e i teoremi relativi alle operazioni con le derivate. Per la dimostrazione dei teoremi che andiamo ad enunciare è sufficiente applicare il metodo formale del calcolo di derivata, vale a dire come limite del rapporto incrementale.
ENUNCIATI
1 La derivata del prodotto di una costante per una funzione derivabile f(x) è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.
Questo teorema può essere facilmente dimostrato considerando che il limite di una costante per una funzione è uguale alla costante per il limite della funzione.
1 Esercizi su derivata di una costante per una funzione 01
2 La derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni.
Questo teorema può essere facilmente verificato scomponendo una funzione elementare come y = 4x (la cui derivata è y’ = 4) che può essere pensata come la somma algebrica di y = 2x +3x -x. Essendo le derivate delle singole funzioni rispettivamente 2; 3; -1. la loro somma algebrica fa 4.
2 Esercizi su derivata della somma algebrica di funzioni 01
3 La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla somma della derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda non derivata e della derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima non derivata.
3 esercizi su derivata del prodotto di 2 funzioni 01
3 esercizi su derivata del prodotto di 2 funzioni 02
4 La derivata del reciproco di una funzione derivabile non nulla è uguale a una frazione in cui:
Il numeratore è l’opposto della derivata della funzione;
Il denominatore è il quadrato della funzione.
4 esercizi su derivata del reciproco di una funzione 01
5 La derivata del quoziente di due funzioni derivabili con la funzione del divisore non nulla è uguale a una frazione in cui:
Il numeratore è la differenza fra la derivata del dividendo moltiplicata per il divisore non derivato e il dividendo non derivato moltiplicato per la derivata del divisore;
Il denominatore è il quadrato del divisore.
5 esercizi su derivata del quoziente di due funzioni 01
N.B.
Quest’ultimo teorema consente di calcolare le derivate delle funzioni tangente e cotangente come derivata del quoziente tra le funzioni seno e coseno.